DESAFIO II

VAMOS VER QUEM RESOLVE PRIMEIRO!

LISTA DE EXERCÍCIOS II

Aula 2: Números Complexos

Números Complexos Aula 2

LISTA DE EXERCÍCIOS I

DESAFIO

Aula 1: Números Complexos

Números Imaginários

Números Complexos

 

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de -1.

Observe que a partir dessa definição, passam a ter sentido certas operações com números reais, a exemplo das raízes quadradas de números negativos.

 

Potências de i:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² . i = -i

i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1

i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i

i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1

i⁷ = i⁶ . i = -i, etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1, i, -1, -i, de quatro em quatro a partir do expoente zero.

Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i, basta elevá-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim, podemos resumir:

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0, 1, 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

 

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹

Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i.

 

NÚMERO COMPLEXO

 

Definição: Dados dois números reais a e b, define-se o número complexo z como sendo:

z = a + bi , onde i = (raiz quadrada de -1) é a unidade imaginária.

Exs: z = 2 + 3i (a = 2 e b = 3)

w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)

u = 100i ( a = 0 e b = 100)

 

NOTAS:

a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z.

b) dado o número complexo z = a + bi, a é denominada parte real e b parte imaginária.

Escreve-se: a = Re(z); b = Im(z).

c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro. Ex: z = 3i.

d) se em z = a + bi tivermos b = 0, dizemos que z é um número real.

Ex: z = 5 = 5 + 0i.

e) do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,

o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.

f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a, b).

 

Exercícios Resolvidos:

 

1) Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

 

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula, ou seja, devemos ter m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

 

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

 

Solução: Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável (1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).

Substituindo na expressão dada, vem:

(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64.

Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e, portanto sua parte real é igual a -64.

 

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)²⁰⁰ .

 

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)²]¹⁰⁰ . Desenvolvendo o produto notável (1 - i)² = 1² - 2.i + i² = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)² = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).

Substituindo na expressão dada, vem:

z = (- 2i)¹⁰⁰ = (- 2)¹⁰⁰. i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . ( i² )⁵⁰ = 2¹⁰⁰. (- 1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ . 1 = 2¹⁰⁰.

Logo, o número complexo z é igual a 2¹⁰⁰ e, portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

 

 

 

 

Números Complexos Aula 1

Um pouco da história dos Números Complexos

No século XVI, os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.